ООО ИТЦ КОНТУР: носимые контрольно-измерительные приборы для диагностики, настройки и ремонта средств связи

Новосибирск, (383) 292-18-75, (383) 306-67-17    www.radio-tester.com
Наши партнеры: Беларусь
Казахстан

Наше представительство
в Республике Казахстан.

e-mail: szk_agro@mail.ru
тел./факс: +7 715 252-88-30
моб.: +7 777 082-02-47
+7 701 798-48-76
Евросоюз

UAB «Atomeksim»

тел. / факс: +370-386-70510
e-mail: atom@tts.lt
адрес: Taikos g.10, Visaginas,
Lithuania, LT-31107
Египет

Наш представитель в Египте
и странах залива

Prof. Dr . Ashraf Elsayed Mohamed
International Development & Manufacturing Experts Group
тел.: +20.1147602039
адрес: P.O. box 205 Alsarai Bahari, Alex21351, Egypt

Расчёт декомпозиционных индуктивных параметров плёночных резисторов.

А.Ж. Абденов, М.Г. Рубанович, В.П. Разинкин, В.А. Хрусталёв

В работе получено соотношение, связывающее декомпозиционные индуктивные параметры и собственную индуктивность плёночного резистора. В полученном соотношении сделан предельный переход, в результате которого оно сведено к интегральному уравнению Вольтерра первого рода типа свёртки, позволяющему определить взаимные индуктивности между декомпозиционными блоками.

1. Введение

В настоящее время в различных сверхвысокочастотных (СВЧ) устройствах широко применяются планарные плёночные резисторы большой мощности. Максимальную рабочую частоту плёночных резисторов ограничивают индуктивные и емкостные параметры резистивной плёнки, которые определяются на основе декомпозиционного подхода, заключающегося в том, что резистивная плёнка разбивается на элементарные блоки, как показано на рис.1.

Рис.1 резистивная плёнка разбивается на элементарные блоки

Основой разбиения по ширине плёночного резистора является метод токовых полос [1]. Декомпозиция по ширине резистивной плёнки учитывает неравномерность плотности тока в поперечном сечении плёнки, но в пределах одного блока плотность тока предполагается неизменной. Каждый из блоков обладает собственной ёмкостью и индуктивностью в зависимости от топологического места блока.

Целью данной работы является получение соотношения, связывающего декомпозиционные индуктивные параметры и собственную индуктивность плёночного резистора, а так же рассмотрение случая предельного перехода,  соответствующего бесконечному увеличению числа блоков в поперечном сечении.

2. Представление собственной индуктивности плёночного резистора через декомпозиционные параметры.

Определение собственной индуктивности проведём на основе понятия среднего геометрического расстояния в поперечных сечениях [1,2]:

формула 1(1)

где эта - расстояние между двумя произвольными элементами площади ds1 и ds2.

В соответствии с общим определением собственной индуктивности металлической или резистивной плёнки L [2], поперечное сечение которой изображено на рис.2а, справедливо соотношение:

(2)

где натуральный логарифм g с индексом bb' - натуральный логарифм среднегеометрического расстояния между плёнкой b и её симметричным положением b` относительно металлического основания;
натуральный логарифм g с индексом bb - натуральный логарифм среднегеометрического расстояния плёнки b относительно самой себя;
мю 0 - абсолютная магнитная проницаемость.

При разбиении плёнки по поперечному сечению на два одинаковых блока (рис.2а), взаимная индуктивность между блоками 1 и 2 равна

формула 2(3)

Рис.2 деление плёнки в поперечном сечении на 2 и 3 одинаковых блока
На рис.2 приведено деление плёнки в поперечном сечении на блоки:
а) на две одинаковых блока; б) на три одинаковых блока.

Ниже металлической поверхности на рис.2а,б изображено их зеркальное отображение. Собственная индуктивность каждого декомпозиционного блока определяется соотношением, аналогичным (2):

формула 4(4)


Если в выражении (2) ввести обозначение , то выражения (1),(3),(4) перепишем следующим образом:

формула 5(5)

формула 6(6)

формула 7(7)

где s 









равно b*дельта - общая площадь поперечного сечения резистивной плёнки;
s' равно 









b'*дельта' - площадь зеркального отображения поперечного сечения резистивной плёнки.

В соотношениях (6) - (7) учтено уменьшение площади поперечного сечения блоков по отношению к площади поперечного сечения всей плёнки при разбиении на два блока.

Интегрирование по площади s 









равно b*дельта можно представить как интегрирование по площади «1» плюс интегрирование по площади «2» плюс интегрирование по площади «1» относительно площади «2» и плюс интегрирование по площади «2» относительно площади «1». Интегрирование по площади s' равно b'*дельта' проводится аналогично.

В соответствии с теоремой Химеттера [2]  J1,2' = J2,1' , поскольку интегрирование  проводится по одинаковым площадям с одинаковыми подынтегральными функциями, справедливы следующие равенства

(8)

Используя разбиение интеграла Jb,b и Jb,b' на интегралы по площадям 1, 21', 2'  (рис.2а) и соотношение (8), получим:

(9)

(10)

Подставим соотношения (9) и (10) в (5)

(11)

Выражение для собственной индуктивности (11) с учётом (6) и (7) преобразуем к виду:

(12)

При разбиении плёнки в поперечном сечении на три одинаковых блока, как показано на рис.2б, по аналогии с приведёнными выше рассуждениями для разбиения на два блока и теоремой Химеттера, можно записать:

формула 13(13)

формула 14(14)

формула 15(15)

формула 16(16)

формула 17(17)

формула 18(18)

Подставив в (15) выражения (16) - (18), получим следующее соотношение для собственной индуктивности:

формула 19(19)

При разбиении резистивной плёнки в поперечном сечении на четыре одинаковых блока выражение для собственной индуктивности плёнки имеет вид:

формула 20(20)

Сопоставив (12), (19) и (20), запишем в общем виде выражение для собственной индуктивности плёнки при её разбиении в поперечном сечении на m одинаковых блоков:

формула 21(21)

Последнее соотношение для разбиения на m блоков представим в виде:

формула 22(22)

Как видно из рассмотрения (22), собственная индуктивность резистивной плёнки L зависит только от коэффициентов M1,i+1, так как в соответствии с (8) взаимоиндуктивности будут одинаковыми для индексов, между которыми разность по модулю одинакова и отсутствующие в формуле M2,i+1,M3,i+1 , и так далее, учитываются коэффициентами при M1,i+1 .

Доказательство верности обобщенного выражения (22) при разбиении резистивной плёнки на любое произвольное число блоков в поперечном сечении проведём следующим образом. Уравнение (22) выведено для разбиения резистивной плёнки на два, три и четыре одинаковых блока. В соответствии с методом математической индукции предположим, что выражение (22) справедливо также и при разбиении на m одинаковых блоков. Тогда при разбиении на m+1 блоков, можно записать:

формула 23 1

формула 23 2(23)

Заметим, что если блоков было на один меньше (рис.3.а), то оставшиеся m блоков занимали бы площадь:

формула 24(24)

С учётом этого, можно записать:

формула 25(25)

Рис.3  
На рис.3 приведено разбиение поперечного сечения плёнки на q блоков:
а) для случая q конечно; б) для случая  q стремится к бесконечности.

В выражении (23) выделим слагаемые, соответствующие разбиению на m блоков, и заменим 1/S квадратв соответствии с равенством (25):

формула 26 1

формула 26 2 (26)

Учитывая, что

формула 27(27)

формула 28(28)

формула 29(29)

для индуктивности L получим

формула 30 1 
формула 30 2

(30)

Из формулы (30) следует, что если соотношение (22) выполняется при разбиении резистивной плёнки на m блоков, то оно выполняется и при разбиении на m+1 блок. Таким образом, соотношение (22) носит общий характер и выполняется при любом произвольном числе разбиений резистивной плёнки на блоки в поперечном сечении.

3. Вывод интегрального соотношения для собственной индуктивности резистивной плёнки.

На основе метода математической индукции доказано, что формула (30) правомерна при любом m, а так как значения - ограничены [2], поэтому без потери общности рассмотрим следующий ряд:

формула 31(31)

или ряд

формула 32(32)

Сходимость ряда (32) сводится к сходимости следующей последовательности сумм:
S1,S2,S3,...,Sm,Sm+1,...,Sm+p,..., где p > 1 – целое положительное число.

Рассмотрим разность сумм двух рядов:

формула 33(33)

Теперь пусть епсилон - есть сколь угодно малое положительное число. Тогда запишем следующее неравенство:

(34)

Исходя из (33) и (34) можно записать следующее неравенство:

формула 35(35)

то есть на основании признака Коши ряд (30) при m стремится к бесконечности сходится.

Предположим, что при m стремится к бесконечности, начиная с какого-то m разбиений выражение (30) равно не L. Но это находится в противоречии с доказанным выше утверждением, что если деление на m блоков в формуле (30) равно L, то деление на m+1 блок также равно L.
Таким образом, можно сделать вывод, что ряд (30) при m стремится к бесконечности сходится к L.

Если в выражении (30) умножить числитель и знаменатель на и бесконечно увеличивать число разбиений, то выражение под суммой переходит в интеграл:

формула 36(36)

где .

Выражения для функций ln g1(y) и ln g2(y) приведены ниже в (37) и (38).

Физический смысл интеграла свёртки L(b)=F(b,M(y)) в том, что собственная индуктивность полной ширины резистивной плёнки над металлическим основанием определяется свёрткой взаимных индуктивностей между одним из краёв резистивной плёнки и продольной полоской единичной длиной и шириной дельта взятых с весом, равным 2(b-y)/b квадрат.

Среднегеометрические расстояния g1 (y) между одним из краёв резистивной плёнки и продольной полоской единичной длиной и шириной дельта, как показано на рис.3.б, определяются по соотношению [2]:

формула 37(37)

где альфа равно дельта/y .

Среднегеометрические расстояния g2 (y)между одним из краёв резистивной плёнки и зеркальной продольной полоской единичной длиной и шириной дельта, как показано на рис.3.б, определяются следующим соотношением [2]:

формула 38 1

формула 38 2(38)

где фи1, фи2, фи3, фи4, r1,r2,r3,r4 - обозначены на рис.4.

Рис.4

Если в выражении (36) представить b - текущей ординатой, определяющей индуктивность как функцию ширины плёнки, то интеграл (36) определяет индуктивность по всей ширине плёнки. При этом должна быть известна зависимость M(y) которая определяет взаимоиндуктивность крайней токовой линии с любой другой токовой линией вплоть до противоположного края плёнки.

В случае, если известна общая индуктивность L как функция ширины плёнки b, то выражение (36) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра первого рода типа свёртки [3], в котором искомой зависимостью является функция M(y), находящаяся под знаком интеграла. Если аналитически или численно задана функция L(b), то соотношение (36) позволяет определить M(y) и задать Z - матрицу, описывающую индуктивную составляющую комплексного сопротивления резистивной плёнки в соответствии с выбранным количеством токовых линий, равных числу декомпозиционных блоков m. Интегральное уравнение (36) по известной классификации [4] является некорректным и решается регуляризацией по методу А.Н. Тихонова.

По методике [2] были рассчитаны декомпозиционные погонные индуктивные параметры резистивной плёнки, имеющей следующие размеры:  b=5 мм,  l= 2 мм, мм. Результаты расчёта декомпозиционных погонных индуктивных параметров приведены в таблице 1. В этой же таблице приведены результаты расчёта собственной погонной индуктивности плёнки через декомпозиционные параметры по полученному в данной работе выражению (22).

Таблица 1. Результат расчёта погонных декомпозиционных индуктивных параметров резистивной плёнки.
mL11M12M13M14M15M16M17M18M19M110L

нГ/см

12,758---------2,758
45,3342,6591,3920,779------2,758
86,7013,9682,4661,7351,2820,9770,7650,611--2,758
107,1424,4042,8792,1141,6211,2771,0270,8390,6960,5842,758

Анализ данных, приведённых в таблице 1, показывает, что рассчитанные декомпозиционные параметры адекватно представляют индуктивные свойства резистивной плёнки, так как при любом значении m (количество блоков в поперечном сечении) и фиксированном размере b (ширина плёнки) собственная интегральная индуктивность L остаётся неизменной.

Заключение.
  1. Приведённые в работе соотношения позволяют рассчитать декомпозиционные индуктивные и взаимоиндуктивные параметры при конечном числе декомпозиционных блоков, которые однозначно соответствуют собственной индуктивности плёночного резистора.
  2. Получено интегральное соотношение в виде уравнения Вольтерра первого рода для собственной индуктивности резистивной плёнки на основе введения функции взаимоиндуктивности между токовыми линиями с поперечными дифференциальными размерами.
  3. При известных значениях декомпозиционных ёмкостей плёночного резистора, найденные декомпозиционне индуктивные и взаимоиндуктивные параметры могут быть использованы для составления - матрицы плёночного резистора, описывающей его комплексный импеданс в широкой области частот и определить распределение СВЧ токов по поперечному сечению.
Библиографический список
  1. Калантаров П.А., Цейтлин Л.А. Расчёт индуктивностей. Справочная книга. - Ленинград: Энергоатомиздат, 1986.
  2. Цейтлин Л.А. Индуктивности проводов и контуров. - М.: Госэнергоиздат, 1950.
  3. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. - М.: Изд-во МГУ, 1984.
  4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979.

Версия для печати